Electronique Mag - Le journal de l'électronique.
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Dans de nombreuses applications, l’architecture de commande numérique dans le domaine fréquentiel comprend une usine et une fonction de transfert de rétroaction/sortie qui nécessite un échantillonnage à un moment précis. Dans la mesure du possible, il est avantageux que ce temps soit uniforme, car toute oscillation pourrait entraîner des erreurs dans les performances du système. La sortie s’effectue généralement via un signal ZOH (zero order hold), permettant au technicien de passer du domaine discret à une commande d’actionnement continue prête à être appliquée à l’installation.
Prenons l’exemple de l’échantillonnage dans un convertisseur analogique- numérique (A/D), où la question est souvent de savoir combien de bits il est préférable de déployer. En général, les A/D sont de 8 à 20 bits, donc un choix courant est un convertisseur de 16 bits avec une tension d’entrée de ±10 VDC. Cet A/D donne une plage de 20 VDC et 216 comptes, où 1 compte A/D équivaut à 305 µV.
Le technicien qui applique cette solution doit vérifier l’échelle du capteur pour déterminer combien de degrés de mouvement sont attribuables à un comptage A/D. Ce chiffre représente la résolution du système. Ce chiffre représente la résolution du système. Dans un système comprenant un servomoteur et un codeur, le codeur produira un nombre fini de comptes (résolution). Par exemple, un codeur TTL typique de 1000 lignes aura 4000 comptes/tr (après quadrature), donc un compte est égal à 0,09° quand on regarde le facteur d’échelle.
Il convient de noter qu’un codeur mal réglé peut nuire à la précision et même entraîner l’arrêt du système. En gardant ces idées à l’esprit, il est conseillé de toujours commencer par régler le codeur, car un comptage incorrect gâchera tout le travail qui suivra.
L’échantillonnage est mauvais parce qu’il provoque un retard de phase dans la boucle de commande ; en fait, un retard inacceptable dans le temps de réception des informations. Un autre problème de l’échantillonnage est l’identification de la fréquence exacte. Une fréquence plus élevée peut souvent se transformer en une fréquence plus basse, ce qui rend la différenciation difficile. Par conséquent, la plupart des contrôleurs utilisent un filtre anti- repliement ou des techniques de suréchantillonnage pour prendre des moyennes et aider à lisser le bruit.
Un autre facteur indésirable est la résolution finie, car les erreurs de quantification ("arrondi") peuvent provoquer de petites oscillations – cycles limites entraînant des basculements d’un compte à l’autre lors des tentatives de réglage. Cette quantification peut également introduire du bruit blanc dans le système en proportion directe de l’arrondi. En outre, bien que le système puisse répondre à ses spécifications de performance en termes de temps d’établissement et d’erreur en régime permanent, une résolution inférieure entraînera un certain niveau de bruit audible. Enfin, bien que la résolution puisse affecter la précision, il est nécessaire d’avoir une résolution environ 10 fois supérieure à la précision finale requise.
Lorsqu’on utilise un codeur dans une architecture de commande numérique, le retour échantillonné est exprimé en unités de comptage/échantillons. Par commodité, de nombreux contrôleurs travaillent en "unités utilisateur", l’utilisateur définissant une unité et le nombre de comptes auxquels elle est associée.
La sortie du contrôleur est maintenue (ZOH) pendant la période d’échantillonnage à l’aide d’un convertisseur numérique/analogique, où une fréquence d’échantillonnage plus rapide produit un signal analogique de plus haute fidélité.
L’utilisation d’un contrôleur numérique nécessite un outil différent dans le domaine des fréquences, appelé le domaine Z, pour modéliser l’échantillon du processus continu et la mise en œuvre en temps discret dans un programme informatique. En fait, cela représente un ensemble d’équations différentielles linéaires plutôt que différentielles.
En substance, le domaine Z est le domaine des fréquences "discrètes" : en d’autres termes, la représentation fréquentielle d’un signal continu échantillonné (un signal temporel discret, et non un ensemble de fréquences discrètes). Par exemple, considérons un signal continu en temps que le technicien transforme dans le domaine S (domaine de Laplace). L’échantillonnage de ce signal produit un ensemble de points discrets, et l’application d’une transformation en Z donnera une fonction de transfert dans le domaine Z. Il est donc maintenant possible d’écrire des fonctions de transfert dans le domaine Z à des fins d’analyse.
Au lieu d’expliquer toute la théorie de la transformée en Z, il faut penser à quelques approximations simples du domaine de Laplace au domaine en Z. Dans le domaine de Laplace, 1/S est une intégration, où l’intégration mesure l’aire sous la courbe. Ici, trois méthodes de mesure différentes sont applicables : avant, arrière et trapézoïdale. La règle avant est difficile à appliquer car elle nécessite un point inconnu dans le futur. Bien que la règle la plus courante soit la règle rétrograde, c’est la règle trapézoïdale (parfois appelée méthode bilatérale/bilinéaire ou méthode de Tustin) qui fournit généralement la meilleure approximation.
Le point important à retenir est le suivant : pour une loi de commande utilisant des termes intégraux et dérivés, le temps d’échantillonnage fait partie du gain de la boucle. Ainsi, lorsque le temps d’échantillonnage est modifié, les gains PID doivent également changer pour que le gain de la boucle reste constant. Sinon, des gains trop importants peuvent déstabiliser le système.
Alors, comment est-il préférable de modifier les gains PID ? Considérons une installation représentée par une inertie qui va se déplacer, plus une résonance. Une fois que le moteur tourne et que le technicien prend un échantillon, il est possible de comparer le retour de position (en utilisant la différenciation pour estimer la vitesse) à la commande et de générer un signal d’erreur. Le résultat est une boucle de vitesse interne et une boucle de position externe, ainsi que trois gains qui nécessitent un ajustement approprié pour assurer la stabilisation de la boucle.
L’étape suivante consiste à examiner les gains d’échelle en fonction du temps d’échantillonnage choisi. Cependant, chaque architecture de commande est différente, ce qui implique d’écrire l’équation de la commande en conséquence. À partir de là, regardez où le temps d’échantillonnage multiplie ou divise les différents gains et décidez comment les modifier de manière appropriée.
Supposons un servomoteur configuré avec un codeur à temps amplifié. L’encodeur comporte un petit disque pour fournir de l’inertie, donc une petite résonance est présente.
En examinant les réponses dans le domaine de la fréquence et du temps, des lignes de tendance commencent à apparaître lorsque le taux d’échantillonnage augmente. Ces lignes de tendance comprennent une légère diminution de la marge de gain et une augmentation substantielle de la marge de phase, qui sont toutes deux des résultats attendus. Cependant, en regardant de plus près les courbes, le gain et la phase sont presque identiques sous la fréquence de coupure, alors qu’au-delà de la fréquence de coupure, la marge de phase augmente avec le taux d’échantillonnage.
Dans cet exemple particulier, le système 20 kHz a une marge de phase de 23° supérieure à celle du système 1 kHz à 70 Hz. Ainsi, même si les changements de gain ont été proportionnels pour obtenir exactement la même réponse, les courbes suggèrent qu’il est possible d’augmenter le gain du système 20 kHz beaucoup plus que celui du système 1 kHz. En augmentant le gain, en déplaçant la fréquence de coupure et en augmentant la bande passante du système, on obtient une meilleure réponse.
Considérons maintenant les mouvements dans le domaine temporel, en particulier la courbe d’erreur de position pour un mouvement de 90°. La question posée est la suivante : combien de temps faut-il pour que la position soit inférieure à la distance arbitraire de 0,1° à la fin du mouvement (lorsque la vitesse atteint zéro) ?
En examinant la courbe d’erreur de position susmentionnée, on constate que les tracés du retour de position pour différentes fréquences se superposent presque les uns aux autres. Cependant, comme nous l’avons déjà vu, il est possible d’augmenter le gain de façon beaucoup plus importante dans le système à 20 kHz. En faisant cela et en relançant la réponse, on constate une grande différence dans l’erreur de position (beaucoup plus faible), tandis que le temps de stabilisation est beaucoup plus rapide.
Pour ces réponses, la résolution était la plus élevée possible, soit 262 144 000 comptes par tour, afin d’éviter de gêner les résultats du temps d’échantillonnage. Mais que se passe-t-il après un changement de résolution ?
Considérons un temps d’échantillonnage de 10 kHz et un déplacement de 90,15° (pour aider à voir les effets du changement de résolution). À 1 000 et 4 000 comptes par tour, il est facile de voir l’erreur de discrétisation du système. Cependant, une résolution de 10 000 comptes par tour et plus ne produit qu’une augmentation négligeable des performances. La répétition de cet exercice à 1 kHz montre qu’une augmentation de la résolution à environ 100 000 comptes par tour est nécessaire pour obtenir une performance de réponse en échelon équivalente à celle observée à 10 kHz. Il s’agit donc d’un compromis évident.
Alors, comment la fréquence d’échantillonnage affecte-t-elle les performances dans le domaine temporel ? Eh bien, lorsque la fréquence d’échantillonnage augmente, les lignes de tendance indiquent un temps d’établissement plus rapide, une légère diminution de l’erreur en régime permanent et une légère augmentation du dépassement.
Lorsque l’on essaie de comparer cette idée de résolution en fonction de la fréquence d’échantillonnage, un tracé basé sur une résolution de 1000 comptes par tour et des fréquences d’échantillonnage de 10 kHz et 1 kHz produit une réponse plutôt inacceptable. Il y a beaucoup de bruit dans le système et l’erreur maximale est de presque 1°. En augmentant la résolution à 4 000 comptes par tour, on obtient une bien meilleure réponse à partir des fréquences d’échantillonnage de 10 kHz et de 1 kHz, mais il y a encore quelques effets de quantification du temps d’échantillonnage. Cependant, en passant à 100 000 000 de comptes par tour, il n’y a presque plus de différence entre les deux fréquences d’échantillonnage, tandis que l’erreur de crête et le temps de stabilisation sont minimes.
En termes simples, une résolution plus élevée permet d’améliorer davantage la réponse du système qu’une fréquence d’échantillonnage plus élevée. La résolution a également une incidence sur la précision, et les autres conclusions sont les suivantes : le dépassement augmente légèrement avec une résolution plus élevée, et le temps de stabilisation et l’erreur en régime permanent sont fondamentalement les mêmes au-delà de 10 000 comptes par tour. En outre, les résultats sont indépendants du temps d’échantillonnage.
Il est également possible de déduire que la fréquence d’échantillonnage affecte davantage la phase que la résolution, ce qui permet d’augmenter la largeur de bande du système, tandis que la fréquence d’échantillonnage a certainement un effet plus important sur le domaine de fréquence, la marge de gain, la marge de phase et le croisement, que la résolution.
Mais est-ce que plus est toujours mieux ? Pas toujours. Prenons l’exemple d’un taux d’échantillonnage très élevé avec une résolution très faible sur une broche de machine. Avec si peu de comptes par taux d’échantillonnage, il est parfois possible de réduire le taux d’échantillonnage pour obtenir un meilleur contrôle du système. N’oubliez pas non plus que le système n’est pas linéaire et qu’il peut être possible de mieux optimiser un mouvement spécifique avec un taux d’échantillonnage ou une résolution plus faible.
En guise de conclusion générale, pour la fréquence d’échantillonnage, plus vite est presque toujours mieux, tandis que pour la résolution, plus est presque toujours mieux.
